POLYOMINO造形集(第13巻)
以下の42造形を掲載しています。
・4-5-ROD(全55種類)を1セット全部使用した造形12個。
・ONESIDE-4-5-ROD(全99種類)を1セット全部使用した造形3個。
・FIXED-4-5-ROD(全372種類)を1セット全部使用した造形1個。
・4-6-ROD(全222種類)を1セット全部使用した造形25個。
・4-7-ROD(全950種類)を1セット全部使用した造形1個。
【1】
碁盤格子上で、単位長さ1の線分を5個接続(正接)させてできる図形を「4-5-ROD(四方ペンタロッド)」と呼び、全部で55種類存在します。
【2】
これら55個を1セットとします。そして1セットを、1個の使い漏らしもなく、かつ重複使用もなく、一回ずつ全部使用して、全辺長5×55=275の造形を試みます。
【3】
使い漏らした片が有ったり、同一の片を2回以上重複使用して良いのであれば、造形は簡単です。しかし、すべての片を一回ずつ全部使うとなると、造形は極めて困難になります。
【4】
試行錯誤しながら1個ずつ埋めていき、「あと1つ」というところまで来たとしましょう。最後に残っている片の形と、最後に残っている隙間の形が偶然一致すれば、最後の片も埋めて完成です。
【5】
しかし、最後の1個の片の形が、最後に残っている隙間の形と偶然一致する確率は、単純に片の種類数55の逆数だと考えると、1/55という小ささです。
【6】
「あと1つ」というところまで来れても、完成する確率はまだまだ小さいし、ダメだったら、少し手前まで戻り、やり直すしか有りません。
【7】
だからこそ、造形が完成したときには、大きな喜びが有ります。
【8】
見た目の美しさだけではありません。「すべての片を一回ずつ全部使っている」という数学的完全性を満たしていることによる、特別な美しさが有るのです。
【9】
普通に「4-5-ROD(四方ペンタロッド)」と呼ぶときには、「反転」(裏返し)と「回転」(0度、90度、180度、270度)、そして「平行移動」を自由に行いながら、自由度8で使用できるものとします。
【10】
例えば9×14の碁盤格子上にある単位線分の数は、9×(14+1)+(9+1)×14=275で、5×55=275に一致し、これら1セットで並べることのできる唯一の長方形型です。
【11】
「ONESIDE-4-5-ROD(片面四方ペンタロッド)」とは、「反転」(裏返し)を禁じ、「回転」(0度、90度、180度、270度)と「平行移動」だけを行いながら使用する方法を指します。
【12】
「ONESIDE-4-5-ROD(片面四方ペンタロッド)」では、「4-5-ROD(四方ペンタロッド)」全55種類のうち、軸対称でない44種類は表と裏が別の片となり、全部で99種類です。1セット全部の長さは、5×99=495となります。
【13】
「FIXED-4-5-ROD(片面有向四方ペンタロッド)」とは、「反転」(裏返し)も「回転」(0度、90度、180度、270度)も禁じ、「平行移動」だけを行い、形としては自由度1で使用する方法を指します。
【14】
「FIXED-4-5-ROD(片面有向四方ペンタロッド)」の全片数は372種類となり、1セットの全辺長は5×372=1860となります。
【15】
30×30の碁盤格子を考えます。全辺長はいくらでしょう? タテもヨコも、長さ30の辺が31本並んでいるので、全辺長は、30×31×2=1860です。何と、「FIXED-4-5-ROD(片面有向四方ペンタロッド)」1セットの全辺長に、ぴったり一致します。
【16】
「FIXED-4-5-ROD(片面有向四方ペンタロッド)」1セットすべてを、1個の漏れもなく、かつ、重複使用もなく、1回ずつ全部使用して、30×30の碁盤格子状に並べることに成功しました!! 我ながら会心の作です。
【17】
左上から右下へと向かう「斜め対称軸」に対し、対称な造形となっています。つまり、どちらか半分だけ作り、それを「斜め対称軸」に対して裏返すことで、残りの半分も完成します。これだと、自由度2で並べることが可能です。
【1】
碁盤格子上で、単位長さ1の線分を6個接続(正接)させてできる図形を「4-6-ROD(四方ヘキサロッド)」と呼び、全部で222種類存在します。
【2】
これら222個を1セットとします。そして1セットを、1個の使い漏らしもなく、かつ重複使用もなく、一回ずつ全部使用して、全辺長6×222=1332の造形を試みます。
【3】
使い漏らした片が有ったり、同一の片を2回以上重複使用して良いのであれば、造形は簡単です。しかし、すべての片を一回ずつ全部使うとなると、造形は極めて困難になります。
【4】
試行錯誤しながら1個ずつ埋めていき、「あと1つ」というところまで来たとしましょう。最後に残っている片の形と、最後に残っている隙間の形が偶然一致すれば、最後の片も埋めて完成です。
【5】
しかし、最後の1個の片の形が、最後に残っている隙間の形と偶然一致する確率は、単純に片の種類数222の逆数だと考えると、1/222という小ささです。
【6】
「あと1つ」というところまで来れても、完成する確率はまだまだ小さいし、ダメだったら、少し手前まで戻り、やり直すしか有りません。
【7】
だからこそ、造形が完成したときには、大きな喜びが有ります。
【8】
見た目の美しさだけではありません。「すべての片を一回ずつ全部使っている」という数学的完全性を満たしていることによる、特別な美しさが有るのです。
【9】
普通に「4-6-ROD(四方ヘキサロッド)」と呼ぶときには、「反転」(裏返し)と「回転」(0度、90度、180度、270度)、そして「平行移動」を自由に行いながら、自由度8で使用できるものとします。
【10】
例えば、20×32の碁盤格子の全辺長は、20×(32+1)+(20+1)×32=1332で、6×222=1332にぴったり一致し、これら1セットで並べることのできる長方形型です。タテとヨコの比が1:1.6であり、黄金比に近い美しい造形です。
【1】
碁盤格子上で、単位長さ1の線分を7個接続(正接)させてできる図形を「4-7-ROD(四方ヘプタロッド)」と呼び、全部で950種類存在します。
【2】
これら950個のうち、949個は穴なし片ですが、1個だけ穴あり片が含まれます。
【3】
これら950個、または、穴あり片を除く949個を1セットとします。そして1セットを、1個の使い漏らしもなく、かつ重複使用もなく、一回ずつ全部使用して、全辺長7×950=6650、または、7×949=6643の造形を試みます。
【4】
ここでは、穴あり片1個を除く穴なし片949個だけを用いました。51×64の碁盤格子上の全辺長は、51×(64+1)+(51+1)×64=6643であり、7×949=6643にぴったり一致します。この51×64の碁盤格子型を並べることに成功しました!!
以下の42造形を掲載しています。
・4-5-ROD(全55種類)を1セット全部使用した造形12個。
・ONESIDE-4-5-ROD(全99種類)を1セット全部使用した造形3個。
・FIXED-4-5-ROD(全372種類)を1セット全部使用した造形1個。
・4-6-ROD(全222種類)を1セット全部使用した造形25個。
・4-7-ROD(全950種類)を1セット全部使用した造形1個。
【1】
碁盤格子上で、単位長さ1の線分を5個接続(正接)させてできる図形を「4-5-ROD(四方ペンタロッド)」と呼び、全部で55種類存在します。
【2】
これら55個を1セットとします。そして1セットを、1個の使い漏らしもなく、かつ重複使用もなく、一回ずつ全部使用して、全辺長5×55=275の造形を試みます。
【3】
使い漏らした片が有ったり、同一の片を2回以上重複使用して良いのであれば、造形は簡単です。しかし、すべての片を一回ずつ全部使うとなると、造形は極めて困難になります。
【4】
試行錯誤しながら1個ずつ埋めていき、「あと1つ」というところまで来たとしましょう。最後に残っている片の形と、最後に残っている隙間の形が偶然一致すれば、最後の片も埋めて完成です。
【5】
しかし、最後の1個の片の形が、最後に残っている隙間の形と偶然一致する確率は、単純に片の種類数55の逆数だと考えると、1/55という小ささです。
【6】
「あと1つ」というところまで来れても、完成する確率はまだまだ小さいし、ダメだったら、少し手前まで戻り、やり直すしか有りません。
【7】
だからこそ、造形が完成したときには、大きな喜びが有ります。
【8】
見た目の美しさだけではありません。「すべての片を一回ずつ全部使っている」という数学的完全性を満たしていることによる、特別な美しさが有るのです。
【9】
普通に「4-5-ROD(四方ペンタロッド)」と呼ぶときには、「反転」(裏返し)と「回転」(0度、90度、180度、270度)、そして「平行移動」を自由に行いながら、自由度8で使用できるものとします。
【10】
例えば9×14の碁盤格子上にある単位線分の数は、9×(14+1)+(9+1)×14=275で、5×55=275に一致し、これら1セットで並べることのできる唯一の長方形型です。
【11】
「ONESIDE-4-5-ROD(片面四方ペンタロッド)」とは、「反転」(裏返し)を禁じ、「回転」(0度、90度、180度、270度)と「平行移動」だけを行いながら使用する方法を指します。
【12】
「ONESIDE-4-5-ROD(片面四方ペンタロッド)」では、「4-5-ROD(四方ペンタロッド)」全55種類のうち、軸対称でない44種類は表と裏が別の片となり、全部で99種類です。1セット全部の長さは、5×99=495となります。
【13】
「FIXED-4-5-ROD(片面有向四方ペンタロッド)」とは、「反転」(裏返し)も「回転」(0度、90度、180度、270度)も禁じ、「平行移動」だけを行い、形としては自由度1で使用する方法を指します。
【14】
「FIXED-4-5-ROD(片面有向四方ペンタロッド)」の全片数は372種類となり、1セットの全辺長は5×372=1860となります。
【15】
30×30の碁盤格子を考えます。全辺長はいくらでしょう? タテもヨコも、長さ30の辺が31本並んでいるので、全辺長は、30×31×2=1860です。何と、「FIXED-4-5-ROD(片面有向四方ペンタロッド)」1セットの全辺長に、ぴったり一致します。
【16】
「FIXED-4-5-ROD(片面有向四方ペンタロッド)」1セットすべてを、1個の漏れもなく、かつ、重複使用もなく、1回ずつ全部使用して、30×30の碁盤格子状に並べることに成功しました!! 我ながら会心の作です。
【17】
左上から右下へと向かう「斜め対称軸」に対し、対称な造形となっています。つまり、どちらか半分だけ作り、それを「斜め対称軸」に対して裏返すことで、残りの半分も完成します。これだと、自由度2で並べることが可能です。
【1】
碁盤格子上で、単位長さ1の線分を6個接続(正接)させてできる図形を「4-6-ROD(四方ヘキサロッド)」と呼び、全部で222種類存在します。
【2】
これら222個を1セットとします。そして1セットを、1個の使い漏らしもなく、かつ重複使用もなく、一回ずつ全部使用して、全辺長6×222=1332の造形を試みます。
【3】
使い漏らした片が有ったり、同一の片を2回以上重複使用して良いのであれば、造形は簡単です。しかし、すべての片を一回ずつ全部使うとなると、造形は極めて困難になります。
【4】
試行錯誤しながら1個ずつ埋めていき、「あと1つ」というところまで来たとしましょう。最後に残っている片の形と、最後に残っている隙間の形が偶然一致すれば、最後の片も埋めて完成です。
【5】
しかし、最後の1個の片の形が、最後に残っている隙間の形と偶然一致する確率は、単純に片の種類数222の逆数だと考えると、1/222という小ささです。
【6】
「あと1つ」というところまで来れても、完成する確率はまだまだ小さいし、ダメだったら、少し手前まで戻り、やり直すしか有りません。
【7】
だからこそ、造形が完成したときには、大きな喜びが有ります。
【8】
見た目の美しさだけではありません。「すべての片を一回ずつ全部使っている」という数学的完全性を満たしていることによる、特別な美しさが有るのです。
【9】
普通に「4-6-ROD(四方ヘキサロッド)」と呼ぶときには、「反転」(裏返し)と「回転」(0度、90度、180度、270度)、そして「平行移動」を自由に行いながら、自由度8で使用できるものとします。
【10】
例えば、20×32の碁盤格子の全辺長は、20×(32+1)+(20+1)×32=1332で、6×222=1332にぴったり一致し、これら1セットで並べることのできる長方形型です。タテとヨコの比が1:1.6であり、黄金比に近い美しい造形です。
【1】
碁盤格子上で、単位長さ1の線分を7個接続(正接)させてできる図形を「4-7-ROD(四方ヘプタロッド)」と呼び、全部で950種類存在します。
【2】
これら950個のうち、949個は穴なし片ですが、1個だけ穴あり片が含まれます。
【3】
これら950個、または、穴あり片を除く949個を1セットとします。そして1セットを、1個の使い漏らしもなく、かつ重複使用もなく、一回ずつ全部使用して、全辺長7×950=6650、または、7×949=6643の造形を試みます。
【4】
ここでは、穴あり片1個を除く穴なし片949個だけを用いました。51×64の碁盤格子上の全辺長は、51×(64+1)+(51+1)×64=6643であり、7×949=6643にぴったり一致します。この51×64の碁盤格子型を並べることに成功しました!!