En la presente edición la exposición de los conceptos y teoremas ha sido hecha con todo detalle buscando siempre la claridad, aún con perjuicio de la brevedad. Cada tema es ilustrado con numerosos ejemplos y problemas.
El texto está dirigido a estudiantes de los últimos semestres de la Licenciatura en Matemáticas o Física, o a estudiantes que comienzan su postgrado, quienes deben estar familiarizados con la teoría de la diferenciación para funciones de varias variables y con los conceptos fundamentales de la Topología General. El texto ha sido sustancialmente aumentado, añadiendo nuevos capítulos que vienen a complementar el curso de Variedades con el curso de Formas Diferenciables dictado en el Decanato de Ciencias por uno de los autores. Estos últimos tres capítulos tratan de hacer de este texto, lo más completo posible para satisfacer las necesidades de la Licenciatura en Matemáticas, como la preparación de los lectores para los tiempos modernos, en los cuales, el uso y técnicas de las Variedades se ha hecho común tanto en las matemáticas puras como aplicadas.
CONTENIDO:
Capítulo 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Hermann Weyl
1.1. Variedades topológicas
1.2. Ejemplos de variedades topológicas
1.3. Estructuras Diferenciables
1.4. Ejemplos de Variedades Diferenciables
1.5. Funciones Diferenciables
1.6. Partición de la unidad
1.7. Los espacios proyectivos y las variedades de Grassmann
1.7.1. Los Espacios Proyectivos Reales
1.7.2. Variedades de Grassmann
Capítulo 2. EL ESPACIO TANGENTE Y LA DERIVADA
SOPHUS LIE
2.1. El espacio tangente
2.2. Derivada de una función
Capítulo 3. SUBVARIEDADES
HASSLER WHITNEY
3.1. Rango de una función
3.2. Inmersiones
3.3. Subvariedades
Capítulo 4. EL FIBRADO TANGENTE
ÉLIE CARTAN
4.1. Fibrados Vectoriales
4.2. Variedades Definidas por una Familia de Inyecciones
4.3. El Fibrado Tangente
4.4. Campos Vectoriales
4.5. Homomorfismo de Fibrado Vectoriales
Capítulo 5. FIBRADO COTANGENTE Y FIBRADOS TENSORIALES
HENRI CARTAN
5.1. Construcción de Fibrados
5.2. El Fibrado Cotangente
5.3. Producto Tensorial
5.4. Campos Tensoriales
Capítulo 6. FORMAS DIFERENCIABLES
ALEXANDER GROTHENDIECK
6.1. Preliminares algebraicos
6.1.1. El producto cuña o producto exterior
6.1.2. Orientación en espacios vectoriales
6.2. k-formas diferenciables
6.3. La Derivada Exterior
Capítulo 7. INTEGRACIÓN DE FORMAS
GEORGES DE RHAM
7.1. Variedades orientables
7.2. Variedades con borde
7.3. Integración de formas
7.4. Teorema de Stokes
Capítulo 8. COHOMOLOGÍA DE LAS FORMAS DIFERENCIABLES
JOHN MILNOR
8.1. Cohomología de complejos de cadena
8.1.1. Complejos de cadena
8.1.2. Cohomología de un complejo de cadenas
8.1.3. Homomorfismo de conexión y la secuencia larga de homología
8.1.4. Homotopía de cadenas
8.2. La cohomología de De Rham
8.2.1. Operador de Homotopía y equivalencia homotópica
8.2.2. Lema de Poincaré para la cohomología de De Rham
8.2.3. La secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de De Rham
8.3. Cohomología de De Rham a soporte compacto
8.4. Aplicaciones de la cohomología de De Rham
8.4.1. El teorema de punto fijo de Brouwer
8.4.2. El teorema de separación de Jordan
8.4.3. El Teorema de invariancia de dominio de Brouwer
El texto está dirigido a estudiantes de los últimos semestres de la Licenciatura en Matemáticas o Física, o a estudiantes que comienzan su postgrado, quienes deben estar familiarizados con la teoría de la diferenciación para funciones de varias variables y con los conceptos fundamentales de la Topología General. El texto ha sido sustancialmente aumentado, añadiendo nuevos capítulos que vienen a complementar el curso de Variedades con el curso de Formas Diferenciables dictado en el Decanato de Ciencias por uno de los autores. Estos últimos tres capítulos tratan de hacer de este texto, lo más completo posible para satisfacer las necesidades de la Licenciatura en Matemáticas, como la preparación de los lectores para los tiempos modernos, en los cuales, el uso y técnicas de las Variedades se ha hecho común tanto en las matemáticas puras como aplicadas.
CONTENIDO:
Capítulo 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Hermann Weyl
1.1. Variedades topológicas
1.2. Ejemplos de variedades topológicas
1.3. Estructuras Diferenciables
1.4. Ejemplos de Variedades Diferenciables
1.5. Funciones Diferenciables
1.6. Partición de la unidad
1.7. Los espacios proyectivos y las variedades de Grassmann
1.7.1. Los Espacios Proyectivos Reales
1.7.2. Variedades de Grassmann
Capítulo 2. EL ESPACIO TANGENTE Y LA DERIVADA
SOPHUS LIE
2.1. El espacio tangente
2.2. Derivada de una función
Capítulo 3. SUBVARIEDADES
HASSLER WHITNEY
3.1. Rango de una función
3.2. Inmersiones
3.3. Subvariedades
Capítulo 4. EL FIBRADO TANGENTE
ÉLIE CARTAN
4.1. Fibrados Vectoriales
4.2. Variedades Definidas por una Familia de Inyecciones
4.3. El Fibrado Tangente
4.4. Campos Vectoriales
4.5. Homomorfismo de Fibrado Vectoriales
Capítulo 5. FIBRADO COTANGENTE Y FIBRADOS TENSORIALES
HENRI CARTAN
5.1. Construcción de Fibrados
5.2. El Fibrado Cotangente
5.3. Producto Tensorial
5.4. Campos Tensoriales
Capítulo 6. FORMAS DIFERENCIABLES
ALEXANDER GROTHENDIECK
6.1. Preliminares algebraicos
6.1.1. El producto cuña o producto exterior
6.1.2. Orientación en espacios vectoriales
6.2. k-formas diferenciables
6.3. La Derivada Exterior
Capítulo 7. INTEGRACIÓN DE FORMAS
GEORGES DE RHAM
7.1. Variedades orientables
7.2. Variedades con borde
7.3. Integración de formas
7.4. Teorema de Stokes
Capítulo 8. COHOMOLOGÍA DE LAS FORMAS DIFERENCIABLES
JOHN MILNOR
8.1. Cohomología de complejos de cadena
8.1.1. Complejos de cadena
8.1.2. Cohomología de un complejo de cadenas
8.1.3. Homomorfismo de conexión y la secuencia larga de homología
8.1.4. Homotopía de cadenas
8.2. La cohomología de De Rham
8.2.1. Operador de Homotopía y equivalencia homotópica
8.2.2. Lema de Poincaré para la cohomología de De Rham
8.2.3. La secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de De Rham
8.3. Cohomología de De Rham a soporte compacto
8.4. Aplicaciones de la cohomología de De Rham
8.4.1. El teorema de punto fijo de Brouwer
8.4.2. El teorema de separación de Jordan
8.4.3. El Teorema de invariancia de dominio de Brouwer
